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PageRank算法之Google详解

SEO篇章 2016-08-31 13:45:12 SEO资讯 ℃

PageRank算法PageRank算法是谷歌曾经独步天下的“倚天剑”，该算法由Larry Page和Sergey Brin在斯坦福大学读研时发明的，论文点击下载: The PageRank Citation Ranking: Bringi...

PageRank算法

PageRank算法是谷歌曾经独步天下的“倚天剑”，该算法由Larry Page和Sergey Brin在斯坦福大学读研时发明的，论文点击下载: The PageRank Citation Ranking: Bringing Order to the Web。

本文首先通过一些参考文献引出问题，然后给出了PageRank的几种实现算法，最后将其推广至在MapReduce框架下如何实现PageRank算法。

PageRank的核心思想有2点：

1.如果一个网页被很多其他网页链接到的话说明这个网页比较重要，也就是pagerank值会相对较高；

2.如果一个pagerank值很高的网页链接到一个其他的网页，那么被链接到的网页的pagerank值会相应地因此而提高。

下面是一张来自WikiPedia的图，每个球代表一个网页，球的大小反应了网页的pagerank值的大小。指向网页B和网页E的链接很多，所以B和E的pagerank值较高，另外，虽然很少有网页指向C，但是最重要的网页B指向了C，所以C的pagerank值比E还要大。

PageRank算法之Google详解

参考内容：

1.Wiki about PageRank

2.Google 的秘密- PageRank 彻底解说中文版

3.数值分析与算法 Page 161 应用实例：Google的PageRank算法

4.Numeric Methods with Matlab 或者中文翻译版本Matlab数值计算

5.使用 MapReduce 思想计算 PageRank Page 62 PageRank和马尔可夫链

问题背景

来自参考内容3

2.数学建模

来自参考内容3，理解网页连接矩阵$G$，马尔科夫过程(“网上冲浪”)，转移矩阵$A$，概率$p$为用户点击当前网页中的某个链接地址的概率(一般都为0.85)。

最后得到一个等式$Ax=x$，这实际上就是求矩阵$A$的特征值为1的特征向量！

下面的内容使用圆盘定理解释了1是矩阵$A$的主特征值，所以我们可以使用幂法来求解。

关于幂法的详细介绍参考另一篇文章Numerical Methods Using Matlab: 第三章矩阵特征值和奇异值求解

3.求解PageRank

假设有如上图右侧所示的网页链接模型。

(1) 幂法

wiki上有一个PageRank的简便算法，它不考虑转移概率，而是采用的是迭代的方式，每次都更新所有网页的pagerank值，更新的方式就是将每个网页的pagerank值平摊分给它指向的所有网页，每个网页累计所有指向它的网页平摊给它的值作为它该回合的pagerank值，直到全部网页的pagerank值收敛了或者满足一定的阈值条件就停止。

后面的MapReduce框架下PageRank算法的实现就采用了这个思想。考虑转移概率的情况和这个算法类似，乘上一个转移概率再加上一个随机跳转的概率。

根据上面的思想，下面Matlab代码实现可以得到各个网页的PageRank值。

得到的向量$x$保存了各个网页的pagerank值，虽然链接数目一样，但是网页①比网页④和网页⑤都高，而网页②的pagerank值第二高，因为网页①链接到了它上面，相当于沾了网页①的光。

这篇文章给出该算法的一个Python版本实现，该博主使用第三方模块python-graph，python-graph模块实现了很多图算法，该模块的使用示例，使用前需要先安装，代码如下：

Python版本的算法实现：

经过32次迭代之后得到的结果如下，和前面的结果一致：

(2) 利用马尔可夫矩阵的特殊结构

来自参考内容4，其中$delta=frac{1-p}{n}$

也就是将矩阵$A$进行分解，并不需要显示求出矩阵$A$，然后便是求解一个线性方程组即可。

(3) 巧妙解法：逆迭代算法

巧妙利用Matlab中的精度误差导致原本是一个奇异矩阵的$I-A$变成一个非奇异矩阵，运行时只是会有些警告提示，但是运行结果和其他算法一样。

最后，附上参考内容4中给出的一份好代码，用于模拟随机冲浪生成矩阵$G$的代码

4.MapReduce框架下PageRank算法的实现

利用前面wiki上的迭代(或者幂法)的思想来实现MapReduce框架下PageRank算法很简单，可以先阅读下参考内容5。

这篇文章using-mapreduce-to-compute-pagerank更加详细，可以参考

以下是我的大数据的一次作业，要求是参考wiki上的简便算法，实现MapReduce框架下的PageRank算法。给的数据集是Twitter的用户之间的关系，可以看做是网页之间的关系，但是助教没要求写代码以及运行这个数据集(有1G多)，所以下面只是一个Python版本的理想可行版本，并没有通过实际大数据集的验证，另外，博主暂时还不太会Python的mapreduce框架中的一些函数，所以实现的是一个简明的可以测试的PageRank算法。

1.输入输出格式

map函数的输入是<节点，从该节点引出的边列表>，其中节点是一个类，包含了其当前的pagerank值，输出是<节点，反向节点pagerank值/反向节点引出边的总数>；

reduce函数的输入是<节点，反向节点pagerank值/反向节点引出边的总数>，输出是<节点，从该节点引出的边列表>，其中节点包含了其更新后的pagerank值。

伪代码： [一时犯二写了个英文形式的 ]

2.示例演示

假设用户1，2，3，4是如下图所示的关系：

假设有2个mapper(A和B)和1个reducer(C)，初始时4个节点的pagerank值都是0.25

其中，关于用户1和2的数据被mapperA读取并处理，关于用户3和4的数据被mapperB读取并处理 [经验证，即使一个用户的数据是由不同的mapper来读取的，最终收敛到的结果差不多]

map的输入输出结果如下：

reduce的输入输出结果如下，输入是2个mapper的输出，输出的结果中更新了节点的pagerank值

reducer处理完了之后又将它的结果输入给mapper处理，直到迭代的次数超过了设定值或者两次迭代之后得到的所有节点的pagerank值之差的总和(也可以是取二范数)小于设定的阈值。

3.示例的实验结果

(1)首先是使用Matlab采用幂法的方式计算出在p=1.0的情况下示例得到的结果 [它的主要作用是验证后面python版本的正确性]

matlab源码如下：

结果为：

(2)matlab版本的page rank没有采用mapreduce的思想进行迭代，所以我另外写了一个python版本的利用mapreduce思想实现的pagerank算法(注：我并没有使用python的map和reduce函数去实现，而是使用更加容易明白的实现)，使用的阈值为0.0001，最多迭代的次数为100次。